ESTIMASI PARAMETER SECARA STATISTIK ~ Note Rokhimah Imawati

ESTIMASI PARAMETER SECARA STATISTIK

(STATISTICAL PARAMETER ESTIMATION)

Hasil percobaan/uji alat yang terhimpun sebagai kumpulan data pengukuran perlu divalidasi. Metode validitas data dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya menggunakan estimasi. Metode pengolahan data dengan estimasi umumnya bertujuan untuk memprediksi sesuatu. Misalnya usia/masa pakai suatu instrument/alat, keuntungan perdagangan, perhitungan suatu besran listrik, dan lain-lain.

3.1.            Pengertian Umum

Bebapa istilah yang perlu dipelajari dalam pokok bahasan estimasi parameter adalah sebagai berikut:

a)      Estimasi adalah teknik statistika untuk mengetahui parameter dalam populasi (rata-rata m, standar deviasi s, proporsi p, koefisien korelasi r, dsb) suatu sampel acak. Estimasi yang umumnya dihitung adalah rata-rata (), standar deviasi (s), proporsi (), koefisien korelasi r, dan lain sebagainya.

b)      Estimasi Parameter

Estimasi parameter adalah estimasi yang digunakan untuk menduga suatu populasi dari sampel. Estimasi digolongkan menjadi dua yaitu estimasi titik (point estimation) dan estimasi interval (interval estimation).

Ø Estimasi Titik (Point Estimation)

Sebuah nilai tunggal yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter disebut titik estimator, sedangkan proses untuk mengestimasi titik tersebut disebut estimasi titik (Harinaldi,2005).

Ø Estimasi Interval (interval estimation)

Sebuah estimasi interval dari sebuah parameter adalah suatu sebaran nilai-nilai yang digunakan untuk mengestimasi . Proses mengestimasi dengan suatu sebaran nilai-nilai ini disebut estimasi interval (Harinaldi,2005).

Konsep yang mendasari estimasi interval ini adalah sampel-sampel yang diambil dari suatu populasi yang akan berdistribusi disekitar µ, dengan deviasi standar sifat dari distribusi sampelnya atau disebut standart eror . Mengestimasi suatu parameter berdasarkan banyak nilai dalam suatu interval tertentu, sehingga hasil estimasi interval memberikan tingkat keyakinan tertentu.

Misalnya, eestimasi m digunakan interval estimasi : − d < m < + d    atau   m = ± d dimana d adalah perbedaan true value dan estimate value (difference) yang dikehendaki. Selanjutnya, d ini disebut juga sebagai estimation error atau kekeliruan estimasi atau galat estimasi.

Konsep yang mendasari estimasi interval ini adalah sampel-sampel yang diambil dari suatu populasi yang akan berdistribusi disekitar µ, dengan deviasi standar sifat dari distribusi sampelnya atau disebut standart eror.

c)      Besarnya d tergantung pada :

(1) ukuran sampel acak yang digunakan

(2) tingkat keyakinan (level of confidence), dan

(3) distribusi probabilitas untuk statistik (estimate value) yang digunakan.

Sehingga interval konfidens untuk estimasi suatu parameter, misalnya m dapat dituliskan sebagai : p( − d < m < + d) = 1 − a

d)     1 − a adalah level of confidence (tingkat keyakinan) yang merupakan pernyataan probabilitas, sehingga nilainya adalah 0 £ 1 − a £ 1.

3.2              Estimasi Mean

Dalam melakukan estimasi terhadap mean populasi dengan menggunakan data yang diperoleh dari sampel terdapat beberapa hal yang terlebih dahulu harus diperhatikan yaitu :

1.      Ukuran sampel (apakah besar n>30 atau kecil n<30)

2.      Informasi tentang distribusi populasinya (apakah distribusi normal atau tidak)

3.      Deviasi standard populasinya (diketahui atau tidak)

4.      Pemilihan jenis distribusi yang menjadi dasar estimasi

A.    Satu Populasi Jika Standard Deviasi Diketahui

Jika adalah rataan sampel random berukuran n yang diambil dari populasi normal (atau populasi tidak normal dengan ukuran sampel n 30) dengan diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ ditentukan oleh:

atau           (3.1)

Dimana :

                    = Harga Statistik

           = deviasi standard

                    = Parameter

Dengan eror standard dari mean sebagai berikut:

·                     Jika anggota populasinya tak terhingga

                                                                     (3.2)

·                     Jika anggota populasinya terhingga sejumlah N:

                                                               (3.3)

Kesalahan estimasi adalah perbedaan antar harga yang diestimasikan dengan harga estimasinya ditentukan oleh

                                                              (3.4)

B.     Satu Populasi Jika Standard Deviasi Tidak Diketahui

Jika dan s² adalah rataan dan variansi dari sampel random berukuran kecil (n < 30) yang diambil dari populasi normal dengan tak diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ ditentukan oleh:

                                        (3.5)

Dimana :

= nilai kritis tyang tergantung pada tingkat kepercayaan dan derajat kebebasan

α     = 1-tingkat kepercayaan ( sering disebut chance of eror)

V   =   derajat kebebasan (df) = n-1

C.     Dua Populasi Saat σ₁² dan σ₂² Diketahui

Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata-rata μ₁ dan μ_2, varians σ₁² dan

σ₂², maka estimasi dari selisih μ₁ dan μ₂ adalah

Jika dan adalah rataan sampel random yang independen berukuran n₁

dan n₂, yang diambil dari populasi-populasi normal (atau populasi tidak normal dengan ukuran sampel n₁ 30 dan n₂ 30) dengan dan diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ₁ dan µ₂ditentukan oleh:

                  (3.6)

Dimana :

= nilai tengah contoh acak bebas berukuran n₁ dan n₂

     = nilai peubah normal baku z yang luas daerah sebelah kanannya α/2

D.    Dua Populasi Saat σ₁² = σ₂² ,Tapi σ₁² dan σ₂² Tidak Diketahui

Jika dan adalah rataan sampel random yang independen, yang berukuran n₁ dan n₂ (dengan masing-masing sampel n₁ < 30 dan n₂ < 30) yang diambil dari populasi-populasi normal dengan variansi-variansi sama namun tidak diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ₁ - µ₂ditentukan oleh:

        (3.8)

Keterangan:

= nilai tengah contoh acak bebas berukuran n₁ dan n₂

a               = Tingkat keyakinan

S_p= nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi

Dengan

                                   (3.9)

Dimana:

S_p= nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi

S₁² dan S₂²= variansi sampel kecil bebas berukuran n₁ dan n₂

E.     Dua Populasi Saat dan Tidak Diketahui, Tetapi

Jika dan adalah rataan-rataan sampel random yang independen, yang berukuran n₁ dan n₂ (dengan masing-masing n₁ < 30 dan n₂ < 30), dengan variansi-variansi dan , yang diambil dari populasi-populasi normal dengan variansi-variansi yang tidak diketahui dan tidak sama, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ₁ - µ₂ditentukan oleh:

         (3.10)

Dimana:

a = Tingkat keyakinan

t_α/2 = Nilai distribusi-t dengan derajat kebebasan v

Dengan

                            (3.11)

Dimana :

v          = derajat kebebasan

          = jumlah data

          = simpangan baku sampel